Rambler's Top100 Матемитические Новеллы.

Вы находитесь на старой версии сайта, перейдите на
Обновленный вариант сайта

Творческое мышление
Методы и приемы ТМ
Интеллект
Память и внимание
Решаем проблемы
Упражнения и игры
Тайм-менеджмент
Эмоции и чувства
Биология для Ума
Психология
Интересно!

Каталог сайтов
Download
Партнеры в Internet

Подписывайтесь на Почтовые рассылки и получайте полезную, свежую и интересную информацию.

Наши проекты:

Дистанционный курс по развитию интеллекта, памяти, креативности, тайм-менеджменту, принятию правильных решений и психологии успеха. С использованием уникального подхода к мышлению - Mind Map (Карты Ума).

Программа по развитию эффективного мышления CoRT и система совершенствования персонального и группового мышления Шесть Шляп Мышления от Эдварда де Боно.
 

Из библиотеки Олега  Степанова www.lk.net/~stepanov/

Мартин Гарднер.

Глава 21.

Извлечение кубического корня и угадывание дней недели по названным датам

 

Даже самые выдающиеся эстрадные вычислители - звезды первой величины, о которых мы рассказывали в предыдущей главе, - редко могли удержаться от того, чтобы не включить в свою программу различные трюки, рассчитанные на чисто внешний эффект, а кое-кто из "живых арифмометров" меньшего ранга строил всю свою программу на таких якобы необычайно трудных, но в действительности простых номерах. Некоторые из трюков столь элементарны, что читатель, желающий позабавить и удивить своих друзей, овладеет ими без труда.

Рассмотрим, например, следующий трюк с умножением чисел (известный сравнительно мало, он имеет великолепную родословную, восходящую к выпущенной в 1747 г. итальянцем Альберти книге "Численные игры: тайные факты"). Трюк действует безотказно на числах любой длины, но если под рукой нет компьютера для проверки результатов, то лучше всего ограничиться трехзначными числами.

Попросите кого-нибудь из зрителей назвать любое трехзначное число. Предположим, что он выбрал число 567. Запишите это число дважды на доске или на листе бумаги:

567     567

Попросите назвать еще одно трехзначное число и подпишите его под 567 слева. Теперь вам необходимо найти еще одно число - сомножитель числа 567, выписанного справа. Оно должно быть "дополнением до 9" левого множителя (хотя зрителям об этом, разумеется, ничего не известно), то есть сумма единиц, десятков и сотен правого и левого множителей должна быть равна 9. Предположим, что в качестве левого множителя названо число 382. Тогда правый множитель равен 617:

x 567
382
    x 567
617

Если вы демонстрируете свое искусство группе зрителей, то можете заранее попросить своего приятеля сыграть роль "подсадной утки" и назвать правильный сомножитель для числа 567, записанного справа. Если вам не удастся найти помощника, то вы выписываете правый сомножитель сами, как бы беря наудачу совершенно случайное число. Затем вы объявляете зрителям, что вычислите оба произведения без помощи карандаша и бумаги, потом найдете их сумму и, наконец, удвоите ее. Сумму произведений вы получаете мгновенно: необходимо лишь вычесть 1 из первого названного зрителями числа и приписать справа дополнение полученной разности до 9. В рассматриваемом примере первым было названо число 567. Следовательно, 567-1 = 566, а "дополнение 566 до 9" равно 433. Таким образом, сумма произведений в этом случае равна 566 433. Если вы запишете полученную сумму на доске, то кто-нибудь из зрителей может заметить, что две ее первые цифры совпадают с двумя первыми цифрами числа 567 (в общем случае первого из названных зрителями чисел). Чтобы "замести следы", вы умножаете полученную сумму на 2. Это совсем нетрудно проделать в уме, выписывая цифры по мере их получения справа налево. Если угодно, можно приписать справа к числу 566 433 нуль и затем разделить на 5 (поскольку умножение на 10 с последующим делением на 5 эквивалентно умножению на 2). В этом случае ответ удобнее выписывать слева направо.

В чем секрет трюка? Сумма вторых сомножителей равна 999, поэтому сумма левого и правого произведений равна 567 x 999 = 567 x (1000 - 1) = 567000 - 567. Вычислив эту разность на бумаге, вы сразу же увидите, что результат равен 566433, то есть числу (567 - 1), вслед за которым выписано его "дополнение до 9".

На несколько более тонком принципе основано множество трюков с молниеносным умножением некоторых чисел, выглядящих на первый взгляд вполне невинно, на любые числа той же или меньшей длины. Предположим, что вычислитель на эстраде обращается к аудитории с просьбой назвать какое-нибудь девятизначное число, и его ассистент, сидящий в зале, называет число 142857143. Другое девятизначное число по просьбе вычислителя, называется "честно". Можно представить себе восторг зрителей, когда вычислитель, "молниеносно перемножив в уме" два девятизначных гиганта, начинает сразу же выписывать чудовищное произведение слева направо. Секрет этого трюка до смешного прост. Второе число необходимо "удвоить", мысленно представив его выписанным подряд дважды, после чего разделить на 7. Полученное частное будет совпадать с искомым произведением. (Если второе число делится на 7 без остатка, вы просто выписываете частное подряд два раза. Если же второе число делится на 7 с остатком, то, дойдя до конца в первый раз, вы приписываете полученный остаток слева от второго числа, после чего продолжаете деление.) Предположим, что второе число равно 123456789. После "удвоения" вы получаете число 123456789123456789. Следует иметь в виду, что "удвоенное" число непременно должно делиться на 7 без остатка. Если "удвоенное" число не делится на 7, то это означает, что вы где-то допустили ошибку.

Столь же легко умножать магическое число 142 857143 на более "короткие" числа. Необходимо лишь перед "удваиванием" дополнить "короткозначное" число до девятизначного нулями, после чего приписать справа короткое число еще раз, а полученное число разделить на 7. Так, если вторым числом было названо 123456, вы мысленно превращаете его в 123456000123456, после чего делите на 7. Производя деление, вы можете тайком посматривать на число 123456, выписанное на доске. Это облегчит вам деление и позволит не сбиться со счета.

Число 142857143 хорошо известно эстрадным вычислителям. В начале века на эстрадах США выступал некий Артур Ф. Гриффите, называвший себя на афишах "Чудо-Гриффите". Он пользовался репутацией человека, способного менее чём за 30 секунд перемножить два девятизначных числа. Когда я впервые прочитал об этом, у меня зародилось смутное подозрение. После длительных "раскопок" в библиотеке мне, наконец, удалось найти отчет очевидца, присутствовавшего на выступлении Гриффитса в 1904 г. перед группой студентов и преподавателей Университета штата Индиана. "Гриффите, - говорится в отчете, - написал на доске число 142857143 и попросил профессора написать под этим числом любой девятизначный множитель. Как только профессор начал выписывать слева направо цифры сомножителя, Чудо-Гриффите тотчас же начал выписывать одну за другой цифры произведения. Присутствовавшие студенты стоя приветствовали вычислителя восторженными криками". В 1901 г. Гриффите выпустил небольшую брошюру, в которой рассказывал о своих методах "легкого и быстрого устного счета". О числе 142857143 в брошюре не говорилось ни слова.

Тех, кто пользуется магическим число 142 857143, подстерегает одна опасность: если второй сомножитель делится на 7, то произведение начинает "заикаться" - в нем появляются повторяющиеся цифры, а это рождает у зрителей подозрение, что "дело не чисто". Чтобы избежать "заикания", Уоллес Ли, придумавший множество превосходных математических фокусов, предложил другое магическое число 2 857143 (нетрудно видеть, что это все то же магическое число 142857143, у которого отброшены две первые цифры). Попросите зрителя назвать семизначный сомножитель, каждая цифра которого не меньше 5. Поясните, что это условие особенно усложняет задачу (в действительности же оно, конечно, упрощает выкладки). Метод вычислений по существу остается таким же, как прежде, с одним лишь различием: перед тем как приступать к делению на 7, второе число необходимо умножить на 2. Поскольку все его цифры больше 4, умножение на 2 можно производить постепенно, цифра за цифрой, по мере того, как вы будете делить число на 7.

Предположим, что в качестве второго множителя названо число 8965797. Умножив первую цифру на 2 и прибавив 1, получим 17. Разделив 17 на 7, мы получим 2 - первую цифру искомого произведения, а остаток 3 запомним. Удвоив следующую цифру 9 и прибавив 1, получим 19. Отбросим первую цифру полученного числа и заменим ее 3 - остатком от деления на 7 предыдущего числа. Получив в результате число 39, разделим его на 7. Частное, равное 5, будет второй цифрой искомого произведения, а остаток 4 придется снова запомнить. Удвоим следующую цифру 6, прибавим 1 и, отбросив в сумме единицу, стоящую спереди, заменим ее остатком от предыдущего деления на 7, равным 4. В итоге получим 43. Разделив 43 на 7, получим третью цифру искомого произведения, равную 6, и 1 в остатке. Удвоив следующую цифру 5 и прибавив 1, мы получим 11. Отбрасывание первой цифры и замена ее остатком на этот раз бессмысленна, поскольку оба числа одинаковы. Разделив 11 на 7, получим 1 и 4 в остатке. Таким образом, четвертая цифра искомого произведения равна 1, а остаток 4 понадобится нам для получения следующей цифры. Так продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последней цифры числа 8965797. При умножении на 2 последней семерки единицу прибавлять не нужно. Остаток от деления последнего двузначного числа, равный 2, переносим в начало и приписываем перед восьмеркой, с которой начинается число 8 965 797, после чего делим число 28965797 на 7 обычным способом, без умножения каждой цифры на 2. В итоге мы получаем искомое произведение. Оно равно 25616564137971.

Удвоением цифр, необходимым на первом этапе вычислений, овладеть совсем нетрудно. Метод Уоллеса Ли заведомо избавляет произведение от "заикания". При этом разгадать секрет трюка непосвященному зрителю гораздо труднее, чем в первом случае. Мысленно восполняя недостающие знаки нулями, магическое число 2 857143 так же, как и его предшественника, можно умножать на числа с меньшим количеством знаков.

Оба магических числа приводят к столь "астрономическим" произведениям, что зрители просто не в состоянии проверить результаты вычислений, если у них под рукой нет компьютера. Однако существует множество магических чисел более умеренного "калибра", позволяющих проделывать по существу те же трюки с вычислением произведений. Например, произведение 143 и трех-значного числа аbс можно вычислить, разделив на 7 число abcabc (правда, эффект трюка будет в значительной мере зависеть от то-го, удастся ли избавиться от "заикания" в частном или нет). Что-бы умножить 1667 и трехзначное число аbс, нужно приписать к abc справа 0, разделить получившееся число на 6, затем приписать половину остатка от деления, если таковой имеется (нетрудно видеть, что остаток от деления числа абс0 на 6 может принимать лишь значения 0, 2 и 4), к числу аbс спереди и полученное число разделить на 3. Все указанные операции нетрудно проделывать в уме, произведения получаются свободными от "заикания", и зрители могут легко проверять правильность производимых выкладок, не прибегая к помощи вычислительной техники.

В качестве приятного и небесполезного упражнения из элементарной теории чисел читателю предлагается самостоятельно разобраться в механизме трюков, основанных на четырех названных выше магических числах.

Другой трюк, который производит сильное впечатление на непосвященного зрителя, связан с извлечением кубического корня. Вы заявляете, что беретесь мгновенно извлечь кубический корень из куба любого целого числа, заключенного между 1 и 100, и к удивлению зрителей действительно неплохо справляетесь с предлагаемыми вам задачами. Этот трюк чрезвычайно прост. Чтобы продемонстрировать его, вам необходимо запомнить лишь таблицу кубов чисел от 1 до 10.

  Кубы Пятые степени
1 1 100 тысяч
2 8 3 миллиона
3 2 24 миллиона
4 64 100 миллионов
5 125 300 миллионов
6 216 777 миллионов
7 313 1 миллиард 500 миллионов
8 512 3 миллиарда
9 729 6 миллиардов
10 1000 10 миллиардов

Нетрудно видеть, что среди последних цифр кубов в отличие от последних цифр квадратов нет повторяющихся (именно поэтому извлекать "в уме" кубический корень гораздо легче, чем квадратный). Последние цифры чисел 1, 4, 5, 6, 9 и 10 совпадают с последними цифрами их кубов. Запомнить же последние цифры кубов чисел 2, 3, 7 и 8 совсем нетрудно: они дополняют каждое из названных чисел до 10.

Предположим, что вас попросили извлечь кубический корень из 658 503. Отбросив последние три цифры, вы прежде всего сосредоточиваете внимание на трех первых цифрах 658. Восстановив в памяти таблицу кубов, вы заключаете, что кубический корень из числа 658 лежит где-то между 8 и 9 и произносите вслух меньшее из двух чисел: 8. Таким образом, первая цифра ответа получена. Взглянув на последнюю цифру куба 658 503, вы сразу же называете вторую цифру искомого кубического корня: 7. Итак, кубический корень из числа 658503 равен 87.

После извлечения кубических корней эстрадные вычислители нередко демонстрируют свое искусство в извлечении корней пятой степени. На первый взгляд может показаться, будто эта задача еще труднее, чем извлечение кубических корней, однако в действительности вычислять корни пятой степени проще и легче. Дело в том, что последняя цифра любого числа совпадает с последней цифрой его пятой степени. Для отыскания же первой цифры достаточно запомнить правый столбец приведенной таблицы. Предположим, что вас попросили извлечь корень пятой степени из 8587340257. Как только зритель произнес: "Восемь миллиардов..." - вы узнали, что нужное вам число заключено между 9 и 10, и, выбрав меньшее из чисел - 9, узнали первую цифру ответа. После этого вы "пропускаете мимо ушей" все, что говорит зритель, до тех пор, пока он не назовет последнюю цифру: 7. В этот же момент вы сообщаете ответ: корень пятой степени из 8 587 340 257 равен 97. Трюк с извлечением корней пятой степени не следует повторять более двух-трех раз, ибо в противном случае зрители могут обратить внимание на совпадение последних цифр у числа и его пятой степени. Разумеется, профессиональные эстрадные вычислители извлекают кубические корни и корни пятой степени из гораздо больших чисел, но какими бы обобщениями перечисленных выше приемов быстрого счета они ни пользовались, по существу их трюки основаны на тех же принципах, которые мы объяснили на примере двузначных чисел.

Большинство эстрадных вычислителей любят поражать воображение публики, отгадывая, на какой день недели приходится любая названная зрителями дата. Для показа этого трюка необходимо запомнить следующую таблицу:

Январь  1  Первый месяц
Февраль 4 Л-ю-т-о - холодно
Март 4 Март - четыре буквы
Апрель 0 Нулевая температура
Май 2 Первое мая - два слова
Июнь 5 Ж-а-р-к-о
Июль 0 Ни капли дождя
Август 3 Третий месяц лета
Сентябрь 6 Не осенний м-е-л-к-и-й дождичек
Октябрь 1 Один лист на ветке
Ноябрь 4 С-н-е-г на крыше
Декабрь 6 Готовь сани летом, а т-е-л-е-г-у зимой

Каждому месяцу соответствует определенное число. Чтобы его легче было запомнить, рядом указана мнемоническая фраза.

Вычисление дня недели производится в четыре этапа (все действия производятся "в уме", без карандаша и бумаги).

1. Две последние цифры года вы рассматриваете как отдельное число. Это число вы делите на 12 и запоминаете остаток от деления. Затем вам необходимо сложить три небольших числа: частное от деления двузначного числа, которым заканчивается год, на 12, остаток от деления того же числа на 12 и частное от деления остатка на 4. Например, зрители назвали 1910 г. Частное от деления 10 на 12 равно 0, остаток - 10. Разделив 10 на 4, вы получаете 2 (остаток от деления в этом случае вас не интересует). Итак, 0 + 10 + 2 = 12. Если полученная сумма больше или равна 7, то ее необходимо разделить на 7 и запомнить лишь остаток от деления. В рассматриваемом случае 12 > 7, поэтому вы делите 12 на 7 и получаете в остатке 5. Именно эту пятерку и необходимо запомнить для дальнейшего. В тех случаях, когда нас интересуют лишь остатки от деления чисел на какое-нибудь определенное число, например 7, математики говорят, что мы пользуемся вычетами по модулю 7.)

2. К числу, полученному на предыдущем этапе, прибавляете ключевое число месяца и в случае необходимости (если полученная сумма больше или равна 7) заменяете вычисленную сумму остатком от деления ее на 7.

3. К полученному числу прибавляете день месяца и снова заменяете сумму остатком от деления ее на 7. Полученное число дает вам день недели (0 соответствует субботе, 1 - воскресенью, 2 - понедельнику и т. д. до 6 - пятницы).

4. Если год високосный и зрители назвали дату, приходящуюся на январь или февраль, от полученного результата необходимо отбросить один день (то есть вместо понедельника называть воскресенье, вместо вторника - понедельник и т.д.).

Первый этап вычислений служит своеобразным сигналом, предупреждающим вас о високосности года. Високосные годы приходятся на каждый четвертый год, а любое число кратно 4, если две его последние цифры образуют двузначное число, кратное 4. Таким образом, если две последние цифры названного зрителями года образуют двузначное число, которое без остатка делится на 12, или остаток от деления его на 12 кратен 4, то это служит вам предостережением о том, что год високосный. (Вместе с тем следует иметь в виду, что в грегорианском календаре 1800 годы и 1900 годы, хотя и они кратны 4, не считаются високосными, в то время как 2000 год считается високосным. Дело в том, что годы, приходящиеся на начала столетий, в грегорианском календаре считаются високосными лишь в том случае, если они кратны 400.)

Способ определения дня недели, о котором мы рассказали, применим к годам нашего века. Впрочем, переход к более далекому прошлому или будущему требует лишь незначительных изменений. Например, для дат, относящихся к прошлому веку, необходимо "накидывать" два дня, для дат, относящихся к будущему веку, - отнимать один день.

Поясним все сказанное на примере. Предположим, что кто-то из зрителей родился 28 июля 1929 года и желает узнать, на какой день недели пришелся его день рождения. Производимые вами в уме выкладки будут выглядеть следующим образом:

1. Последние две цифры года образуют двузначное число 29. Разделив его на 12, вы получаете 2 (и 5 в остатке). Разделив 5 на 4, получаете 1 (и 1 в остатке). Вычисляете сумму 2 + 5 + 1 = 8и заменяете ее остатком от деления на 7. Итак, в результате первого этапа вычислений вы получаете 1.

2. Ключевое число для июля равно 0. Следовательно, к имеющейся единице ничего прибавлять не надо, и вы по-прежнему удерживаете в памяти 1.

3. Прибавляете 28 - день месяца к 1 и полученную сумму делите на 7. Остаток равен 1. Следовательно, зритель родился в воскресенье.

Необходимость в четвертом этапе отпадает, поскольку 1929 год -невисокосный. (Впрочем, если бы он был и високосным, то необходимости в четвертом этапе все равно не возникло бы, так как зритель родился в июле, а не в январе и не в феврале - двух месяцах, для которых вводится поправка.)

В конце прошлого века интерес к определению дня недели для любой названной даты был чрезвычайно велик и породил множество различных методов решения задачи. Один из первых методов, по существу аналогичный тому, о котором рассказывалось в этой главе, был предложен Льюисом Кэрроллом. "Не могу сказать, что считаю в уме очень быстро, - писал он, - но все же на любой вопрос такого рода мне удается ответить в среднем не более чем за 20 секунд. Ничуть не сомневаюсь, что те, кто считают проворнее меня, справились бы с задачей менее чем за 15 секунд".

 

ОТВЕТЫ

Принцип, или, если угодно, механизм, действия четырех магических чисел лучше всего пояснить на примерах.

Число 142857143 - это частное от деления 1000 000 001 на 7. Ясно, что при умножении 1000000001 на любое девятизначное число abcdefghi мы получим произведение вида abcdefghiabcdefghi. Следовательно, для того, чтобы умножить 142857143 на abcdefghi, достаточно разделить число abcdefghiabcdefghi на 7.

Второе магическое число 2857143 равно частному от деления 20000001 на 7. Нетрудно видеть, что в этом случае семизначное число, на которое мы хотим умножить 2857143, сначала необходимо умножить на 2, затем разделить на 7, а дойдя до последней цифры, продолжать деление на 7 того же числа, но уже без предварительного удваивания его. Условие, согласно которому каждая цифра семизначного числа, умножаемого на 2 857143, должна быть больше 4, гарантирует появление 1, прибавляемой к удвоенной цифре, и делает возможным именно тот вариант удваивания, который был описан выше. Разумеется, умножать цифры на 2 и делить на 7 можно и в том случае, если среди цифр семизначного числа встречаются цифры меньше 5, но правила при этом усложняются.

Малые магические числа 143 и 1667 "действуют" аналогичным образом. Первое из них равно 1001/7, второе - 5001/3. Во втором случае прежде чем делить ("по первому разу") на 3 число аbс, умножаемое на 1667, его необходимо умножить на 5. Поскольку умножение на 5 эквивалентно умножению на 10 с последующим делением на 2, мы дописываем к числу аbс нуль справа и производим деление на 6 так, как уже говорилось. Остаток делится пополам для того, чтобы перевести "шестые" в "трети", и приписывается спереди к числу аbс, после чего все делится на 3. Частное гарантировано от "заикания" (однообразного повторения цифр) именно тем, что число аbс оба раза делится на различные числа. При умножении 143 на число аbс, кратное 7, произведение всегда не свободно от "заикания".

Написать нам письмо. Сотрудничество и партнерство.
Условия переписки и публикации наших материалов.
Copyright © 2000-2007 Малыгин Андрей Александрович  моб. тел. (846) 274-23-88
Последнее изменение: 01 декабря 2007
Рейтинг@Mail.ru   Rambler's Top100